Question

如圖，直線l與⊙O相切于點(diǎn)M，點(diǎn)P為直線l上一點(diǎn)，直線PO交⊙O于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C在線段PM上，連接BC，且CM=BC．
（1）判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若AB=2BP，⊙O的半徑為6cm，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,扇形面積的計(jì)算

專(zhuān)題：

分析：（1）首先證明△OBC≌△OMC（SSS），得出∠CBO=∠CMO=90°，即可得出直線BC是⊙O的切線；
（2）利用切線的性質(zhì)定理以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠POM=60°，則∠MOA=120°，以及AM的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式以及扇形面積公式得出答案即可．

解答：解：（1）直線BC是⊙O的切線，
理由：連接MO，CO，
∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)M，
∴∠PMO=90°，
在△OBC和△OMC中

BC=MC CO=CO BO=MO

，
∴△OBC≌△OMC（SSS），
∴∠CBO=∠CMO=90°，
∴直線BC是⊙O的切線；

（2）過(guò)點(diǎn)O作ON⊥AM于點(diǎn)N，
∵AB=2BP，
∴PB=BO=MO，
即MO=

1

2

PO，
又∵∠PMO=90°，
∴∠MPO=30°，
∴∠POM=60°，則∠MOA=120°，
∴S_扇形AOM=

120π×62

360

=12π（cm²），
∵∠MOA=120°，ON⊥AM，
∴∠MON=∠AON=60°，
∴NO=

1

2

×6=3（cm），
MN=CO•sin60°=

3

2

×6=3

3

（cm），
∴AM=6

3

cm，則S_△AOM=

1

2

×NO×AM=

1

2

×3×6

3

=9

3

9 3

4

（cm²），
∴圖中陰影部分的面積為：（12π-9

3

）cm²．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了扇形面積公式以及切線的性質(zhì)和判定和銳角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用和勾股定理等知識(shí)，熟練應(yīng)用切線的性質(zhì)和判定定理是解題關(guān)鍵．