Question

已知△ABC的兩條高CD，BE交于點(diǎn)G，外角平分線BF，CF交于點(diǎn)F，

（1）如圖1，若△ABC是直角三角形，∠A=90°，那么∠F等于多少度？如圖2，若△ABC是等邊三角形，那么∠BGC等于多少度？∠F等于多少度？
（2）如圖3，若∠A為銳角且∠A=α°，那么∠BGC等于多少？∠F等于多少？由此以上結(jié)論猜想∠BGC與∠F的關(guān)系？寫出你的結(jié)論（不必證明）
（3）如圖4，若∠A為鈍角，那么∠BGC與∠F的關(guān)系是否發(fā)生改變，若不變請(qǐng)證明，若改變請(qǐng)寫出你的結(jié)論并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）若△ABC是直角三角形根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，求得∠F=90°-

1

2

∠A，即可求得∠F的值；若△ABC是等邊三角形，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，求得∠F=90°-

1

2

∠A=60°根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°，得出∠DGE=180°-∠A=120°；
（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，求得∠F=90°-

1

2

∠A，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°，得出∠DGE=180°-∠A，因?yàn)椤螦=α，即可求得∠BGC，∠F的度數(shù)；
（3）若∠A為鈍角，那么∠BGC與∠F的關(guān)系不會(huì)發(fā)生改變，可根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，求得∠F=90°-

1

2

∠BAC，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°，得出∠BGC=180°-DAE=180°-∠BAC，所以∠BGC=2∠F．

解答：解：（1）如圖1，∵外角平分線BF，CF交于點(diǎn)F，
∴∠CBF=

1

2

∠MBC=

1

2

（∠A+∠ACB），∠BCF=

1

2

（∠A+∠ABC）
∵∠F=180°-（∠CBF+∠BCF）=180°-（∠A+

1

2

∠ACB+

1

2

∠ABC）=180°-∠A-

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A，
∵∠A=90°，
∴∠F=45°，
如圖2，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°
∵CD，BE是△ABC的兩條高，
∴∠DGE=180°-∠A=120°，
∴∠BGC=120°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠MBC=∠NCB=120°，
∴外角平分線BF，CF交于點(diǎn)F，
∴∠FBC=∠BCF=60°，
∴∠F=60°，

（2）如圖3，∵△ABC的兩條高CD，BE交于點(diǎn)G，∠A=α°，
∴∠BGC=∠DGE=180°-α，
∵∠F=180°-（∠CBF+∠BCF）=180°-（∠A+

1

2

∠ACB+

1

2

∠ABC）=180°-∠A-

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A，
∴∠F=90°-

1

2

α，
由此以上結(jié)論猜想∠BGC與∠F的關(guān)系為：∠BGC=2∠F；

（3）如圖4，若∠A為鈍角，那么∠BGC與∠F的關(guān)系不發(fā)生改變，仍是∠BGC=2∠F；
理由：∵△ABC的兩條高CD，BE交于點(diǎn)G，
∴∠BGC=180°-DAE=180°-∠BAC，
∵外角平分線BF，CF交于點(diǎn)F，
∴∠CBF=

1

2

∠MBC=

1

2

（∠BAC+∠ACB），∠BCF=

1

2

（∠BAC+∠ABC）
∵∠F=180°-（∠CBF+∠BCF）=180°-（∠BAC+

1

2

∠ACB+

1

2

∠ABC）=180°-∠BAC-

1

2

（180°-∠BAC）=90°-

1

2

∠BAC，
∴∠BGC=2∠F；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．