Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），B（1，0），C（5，0），拋物線對(duì)稱軸l與x軸相交于點(diǎn)M．
（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；
（2）設(shè)點(diǎn)P為拋物線（x＞5）上的一點(diǎn)，若以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形四條邊的長度為四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接AC．探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使△NAC的面積最大？若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)你說明理由．

Answer 1

：解：（1）根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），
把點(diǎn)A（0，4）代入上式得：a=，
∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x²﹣x+4=（x﹣3）²﹣，
∴拋物線的對(duì)稱軸是：x=3；
（2）由已知，可求得P（6，4），
由題意可知以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3，
又∵點(diǎn)P的坐標(biāo)中x＞5，
∴MP＞2，AP＞2；
∴以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意，
∴四條邊的長只能是3、4、5、6的一種情況，
在Rt△AOM中，AM===5，
∵拋物線對(duì)稱軸過點(diǎn)M，
∴在拋物線x＞5的圖象上有關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)與M的距離為5，
即PM=5，此時(shí)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為6，即AP=6；
故以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊長度分別是四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)3、4、5、6成立，
即P（6，4）；
（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點(diǎn)N，使△NAC面積最大．
設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，此時(shí)點(diǎn)N（t，t²﹣t+4）（0＜t＜5），
過點(diǎn)N作NG∥y軸交AC于G；由點(diǎn)A（0，4）和點(diǎn)C（5，0）可求出直線AC的解析式為：y=﹣x+4；
把x=t代入得：y=﹣x+4，則G（t，﹣t+4），
此時(shí)：NG=﹣x+4﹣（t²﹣t+4）=﹣t²+t，
∴S_△ACN=NG•OC=（﹣t²+t）×5=﹣2t²+10t=﹣2（t﹣）²+，
∴當(dāng)t=時(shí)，△CAN面積的最大值為，
由t=，得：y=t²﹣t+4=﹣3，
∴N（，﹣3）．
解析:
已知，可求得P（6，4），由題意可知以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3，又知點(diǎn)P的坐標(biāo)中x＞5，所以MP＞2，AP＞2；因此以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意，所以四條邊的長只能是3、4、5、6的一種情況，則【解析】求解即可求得答案；
（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點(diǎn)N，使△NAC面積最大．設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，此時(shí)點(diǎn)N（t，t²﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直線AC的解析式，即可求得NG的長與△ACN的面積，由二次函數(shù)最大值的問題即可求得答案．