Question

設(shè)關(guān)于x的一次函數(shù)y=a₁x +b₁與y=a₂x+ b₂，則稱函數(shù)y=m（a₁x +b₁）+n（a₂x+b₂）（其中m+n=1）為這兩函數(shù)的生成函數(shù)。
（1）當(dāng)x=1時(shí)，求函數(shù)y=x+1與y=2x的生成函數(shù)的值；
（2）若函數(shù)y=a₁x+b₁與y=a₂x+b₂的圖象的交點(diǎn)為P，判斷點(diǎn)P是否在這兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上，并說明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)函數(shù)y=x+1與y=2x的生成函數(shù)為y=m（x+1）+n（2x）=（m+2n）x+m，
當(dāng)x=1時(shí)，兩函數(shù)的生成函數(shù)值為y=（m+2n）×1+m=2m+2n=2（m+n），
∵m+n=1，
∴此兩函數(shù)的生成函數(shù)的值為y =2×1=2；
（2）點(diǎn)P是在此兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上，理由如下：
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（e，f） 則由題意可得f=a₁e+b₁與f=a₂e+b₂，
又知函數(shù)y=a₁x+b₁與y=a₂x+b₂的生成函數(shù)為y=m（a₁x+b₁）+n（a₂x+ b₂），
∴當(dāng)自變量x=e時(shí)，生成函數(shù)的值為y=m（a₁e+b₁）+n（a₂e+ b₂）=mf+nf=（m+n）f=1×f=f，
即點(diǎn)P是在此兩函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上。