Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心半徑為2畫⊙O．
（1）若A的坐標(biāo)為（4，0）時(shí)，過(guò)點(diǎn)A的直線切⊙O于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)B．求線段AP的長(zhǎng)．
（2）求出AB所在的直線解析式．
（3）如圖，若P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線與x軸交與點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．請(qǐng)問(wèn)：在⊙O是否存在一點(diǎn)Q，使得以Q，O，A，P為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）連接OP．利用切線的性質(zhì)推知△OPA為直角三角形，然后根據(jù)勾股定理來(lái)求AP的長(zhǎng)度；
（2）利用直線AB的斜率和該直線在y軸上的截距來(lái)書寫直線AB的解析上；
（3）此題應(yīng)分兩種情況：
①OP為對(duì)角線，此時(shí)OQ∥AP，由于∠OPA=90°，那么∠POQ=90°，即△POQ是等腰直角三角形，已知OA⊥OB，那么OB⊥PQ，此時(shí)OB為∠POQ的對(duì)角線，即P、Q關(guān)于y軸對(duì)稱由此得解；
②OP為邊，此時(shí)OP∥AQ，由于∠OPA=90°，那么平行四邊形OPAQ為矩形，即∠POQ是等腰直角三角形，解法同①．

解答：解：（1）如圖（1），連接OP．
∵AP是⊙O的切線，點(diǎn)P是切點(diǎn)，
∴∠OPA=90°．
又∵A的坐標(biāo)為（4，0），⊙O的半徑是2，
∴OA=4，OP=2，
∴在Rt△OPA中，AP=

OA2-OP2

=2

3

；

（2）∵在Rt△OPA中，∠OPA=90°，OA=4，OP=2，
∴∠OAP=30°（30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半），
∴tan∠OAP=

OB

OA

，即

3

3

=

OB

4

，
∴OB=

4 3

3

．
∴直線AB的解析式為：y=tan150°x+OB=-

3

3

x+

4 3

3

；

（3）存在；
①如圖（2），設(shè)四邊形OAPQ為平行四邊形，∴PQ∥OA，OQ∥PA；
∵AB⊥OP，OB⊥OA，
∴OQ⊥OP，PQ⊥OB，
∴∠POQ=90°，
∵OP=OQ（⊙O的半徑），
∴△POQ是等腰直角三角形，
∴OB是∠POQ的平分線且是邊PQ上的中垂線，
∴∠BOQ=∠BOP=45°，
∴∠AOP=45°，
設(shè)P（x，x）、Q（-x，x）（x＞0），
∵OP=2代入得

2x2

=2，解得x=

2

，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)是（-

2

，

2

）；（1分）
②如圖（3）所示，四邊形OPAQ為平行四邊形，
同理可得Q點(diǎn)坐標(biāo)是（

2

，-

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是圓的綜合題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，切線的性質(zhì)以及平行四邊形的判定，還涉及到相似三角形的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，難度較大．