Question

如圖，AB是⊙的直徑，AD切⊙O于A，延長AB到C，過C作⊙O的切線CE，切點(diǎn)為E，CE的延長線交AD于D，連接AE，且AE=CE．
（1）求證：AB=2BC；
（2）若AB=4cm，求圖中陰影部分（弓形）的面積．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：

分析：（1）連接OE、BE，根據(jù)切線的性質(zhì)得出AD=DE，進(jìn)而得出∠DAE=∠DEA，根據(jù)已知求得∠EAC=∠C，從而求得∠DAE=∠DEA=2∠EAC，進(jìn)而求得∠EAC=30°，求得AB=2BE，然后求得BE=BC，即可求得結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理求得AE，AE邊上的高OF，然后根據(jù)S_陰影=S_扇形-S_△AOE即可求得．

解答：解：（1）連接OE、BE，
∵AD、DC是⊙O的切線，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∵AE=CE，
∴∠EAC=∠C，
∴∠DAE=∠DEA=2∠EAC，
∵∠DAE+∠EAC=∠DAC=90°，
∴∠EAC=30°，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∴AB=2BE，
∵DC是⊙O的切線，
∴∠BEC=∠EAC，
∴∠BEC=∠C，
∴BE=BC，
∴AB=2BC．

（2）作OF⊥AE于F，
∴OF=

1

2

OA=1，
∵OA=OE=2，
∴∠EAC=∠AEO=30°，
∴∠AOE=120°，
∵AB=4，
∴BE=2，AE=

3

2

×4=2

3

∴OF=1，
∴S_陰影=S_扇形-S_△AOE=

120×π×22

360

-

1

2

×2

3

×1=

4π-3 3

3

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)勾股定理的應(yīng)用，30°角的直角三角形的性質(zhì)等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形和等腰三角形是本題的關(guān)鍵．