【題目】已知,點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合),分別過A,B向直線CP作垂線,垂足分別為E,F(xiàn),Q為斜邊AB的中點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí),AE與BF的位置關(guān)系是 ,QE與QF的數(shù)量關(guān)系式 ;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí),試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系,并給予證明;

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段BA(或AB)的延長(zhǎng)線上時(shí),此時(shí)(2)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)畫出圖形并給予證明.

【答案】(1)、AEBF;QE=QF;(2)、QE=QF;證明過程見解析;(3)、成立;理由見解析.

【解析】

試題分析:(1)、證BFQ≌△AEQ即可;(2)、證FBQ≌△DAQ,推出QF=QD,根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可;(3)、證AEQ≌△BDQ,推出DQ=QE,根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可.

試題解析:(1)、AEBF,QE=QF, 理由是:如圖1,Q為AB中點(diǎn), AQ=BQ,

BFCP,AECP, BFAE,BFQ=AEQ=90°, BFQ和AEQ中

∴△BFQ≌△AEQ(AAS), QE=QF,

(2)、QE=QF, 如圖2,延長(zhǎng)FQ交AE于D, Q為AB中點(diǎn), AQ=BQ,

BFCP,AECP, BFAE, ∴∠QAD=FBQ, FBQ和DAQ中

∴△FBQ≌△DAQ(ASA), QF=QD, AECP,

EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線, QE=QF=QD, 即QE=QF.

(3)、(2)中的結(jié)論仍然成立, 如圖3, 延長(zhǎng)EQ、FB交于D, Q為AB中點(diǎn),

AQ=BQ, BFCP,AECP, BFAE, ∴∠1=D, AQE和BQD中,

, ∴△AQE≌△BQD(AAS), QE=QD, BFCP,

FQ是斜邊DE上的中線, QE=QF.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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