Question

平面直角坐標(biāo)系中，⊙O₁的坐標(biāo)為（-4，0），以O(shè)₁為圓心，8為半徑的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)．過(guò)A點(diǎn)作直線l與x軸負(fù)方向相交成60°角，以點(diǎn)O₂（13，5）為圓心的圓與x軸相切于點(diǎn)D．
（1）求直線l的解析式．
（2）將⊙O₂以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向左平移，幾秒時(shí)⊙O₂和⊙O₁第一次相切．
（3）直線l向右與⊙O₂向左同時(shí)開始沿x軸平移，當(dāng)⊙O₂第一次與⊙O₁相切時(shí)，直線l也恰好與⊙O₂第一次相切．求直線l平移的速度．

Answer 1

分析：（1）求直線的解析式，可以先求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式．
（2）設(shè)⊙O₂平移t秒后到⊙O₃處與⊙O₁第一次外切于點(diǎn)P，⊙O₃與x軸相切于D₁點(diǎn)，連接O₁O₃，O₃D₁，在直角△O₁O₃D₁中，根據(jù)勾股定理，就可以求出O₁D₁，進(jìn)而求出D₁D的長(zhǎng)，得到平移的時(shí)間．
（3）根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出∠MZO₃=∠O₃ZD₁=60°，在Rt△O₃D₁Z中，解直角三角形求出D₁Z=

O3D1

tan60°

=

5

3

3

，即可求出在5秒內(nèi)直線l的平移的距離，最后除以5即可．

解答：解：（1）由題意得OA=|-4|+|8|=12，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-12，0）．
∵在Rt△AOC中，∠OAC=60°，
OC=OAtan∠OAC=12×tan60°=12

3

．
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-12

3

）．
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
由l過(guò)A、C兩點(diǎn)，
得：

-12k+b=0 b=-12 3

，解得：

b=-12 3 k=- 3

，
∴直線l的解析式為：y=-

3

x-12

3

；

（2）如圖，設(shè)⊙O₂平移t秒后到⊙O₃處與⊙O₁第一次外切于點(diǎn)P，⊙O₃與x軸相切于D₁點(diǎn)，連接O₁O₃，O₃D₁．
則O₁O₃=O₁P+PO₃=8+5=13，
∵O₃D₁⊥x軸，
∴O₃D₁=5，
在Rt△O₁O₃D₁中，O₁D₁=

132-52

=12，
∵O₂的坐標(biāo)是（13，5），O₁的坐標(biāo)是（-4，0），
∴OD₁=12-4=8，
∴D₁D=13-8=5（秒）．
∴⊙O₂平移的時(shí)間為5秒．

（3）直線l平移到MN，和⊙O₃相切，此時(shí)直線MN交x軸于Z，
則∠MZO=60°，
∵⊙O₃切直線x軸于D₁，
∴∠MZO₃=∠O₃ZD₁=

1

2

（180°-60°）=60°，
在Rt△O₃D₁Z中，O₃D₁=5，
∴D₁Z=

O3D1

tan60°

=

5

3

=

5

3

3

，
∴在5秒內(nèi)直線l的平移的距離AZ=AO₁+O₁D₁-ZD₁=8+12-

5

3

3

=20-

5

3

3

，
（20-

5

3

3

）÷5=4-

3

3

，
∴直線l平移的速度為每秒（4-

3

3

）個(gè)單位．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，全等三角形的判定，圖形的平移變換等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力．