Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P₀的坐標(biāo)為（1，0），將線段OP₀按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度伸長為OP₀的2倍，得到線段OP₁，又將線段OP₁按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為OP₁的2倍，得到線段OP₂，如此下去，得到線段OP₃，OP₄…，OP_n（為正整數(shù)）
（1）求點(diǎn)P₃的坐標(biāo)；
（2）我們規(guī)定：把點(diǎn)P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3…）的橫坐標(biāo)x_n、縱坐標(biāo)y_n都取絕對值后得到的新坐標(biāo)（|x_n|，|y_n|）稱之為點(diǎn)P_n的“絕對坐標(biāo)”，根據(jù)圖中P_n的分布規(guī)律，求出點(diǎn)P_n的“絕對坐標(biāo)”．

Answer 1

分析：（1）首先求得OP₃的長，再進(jìn)一步根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)絕對值都是非負(fù)數(shù)，則此題只需分為三種情況考慮：x軸上、y軸上和象限的角平分線上．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得OP₃=2OP₂=4OP₁=8OP₀=8，
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得P₃（-4

2

，4

2

）；

（2）由題意知，旋轉(zhuǎn)8次之后回到軸的正半軸，在這8次旋轉(zhuǎn)中，點(diǎn)分別落在坐標(biāo)象限的角平分線上或x軸或y軸上，但各點(diǎn)“絕對坐標(biāo)”的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù)，因此，各點(diǎn)的“絕對坐標(biāo)”可分三種情況：
①當(dāng)P_n的n=0，4，8，12…，則點(diǎn)在x軸上，則（2ⁿ，0）
②當(dāng)P_n的n=2，6，10，14…，則點(diǎn)在y軸上，則點(diǎn)（0，2ⁿ）
③當(dāng)P_n的n=1，3，5，7，9…，則點(diǎn)在各象限的分角線上，則點(diǎn)（2^n-1

2

，2^n-1

2

）．

點(diǎn)評：此題綜合運(yùn)用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)．