Question

已知如圖：△ABC是等邊三角形，邊長為1，延長BC到E，使得CE=

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BC．
（1）用尺規(guī)作圖的方法，過點B作BD⊥AC，垂足為點D，連接DE；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）求證：△DBE為等腰三角形．

Answer 1

考點：含30度角的直角三角形,等腰三角形的判定,作圖—基本作圖

專題：

分析：（1）按照過直線外一點作已知直線的垂線的步驟作BD⊥AC于點D，再連接DE即可；
（2）先由△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC．根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出∠DBC=

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∠ABC=30°，CD=

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AC，由CE=

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2

BC，AC=BC，等量代換得出CD=CE，再根據(jù)等邊對等角及三角形外角的性質(zhì)得出∠E=∠CDE=

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∠ACB=30°，于是∠DBC=∠E=30°，然后根據(jù)等角對等邊得到DE=DB，即△DBE為等腰三角形．

解答：（1）解：如圖所示：

（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC．
∵AB=BC，BD⊥AC于點D，
∴∠DBC=

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2

∠ABC=30°，CD=

1

2

AC，
∵CE=

1

2

BC，AC=BC，
∴CD=CE，
∴∠E=∠CDE=

1

2

∠ACB=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴DE=DB，
∴△DBE為等腰三角形．

點評：本題考查了過直線外一點作已知直線的垂線，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答（2）題的關(guān)鍵．