【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),矩形OABC的位置如圖所示,點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(10,0),(0,8).點(diǎn)P是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將OAP沿AP翻折得到O′AP,直線BC與直線O′P交于點(diǎn)E,與直線OA'交于點(diǎn)F.

(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸,且OAP=30°時(shí),求點(diǎn)O′的坐標(biāo);

(2)當(dāng)O′落在直線BC上時(shí),求直線O′A的解析式;

(3)當(dāng)點(diǎn)P在矩形OABC邊OC的運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某一時(shí)刻,使得線段CF與線段OP的長(zhǎng)度相等?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(5,5).(2)直線O′A的解析式為y=x﹣(3)當(dāng)點(diǎn)P在矩形OABC邊OC的運(yùn)動(dòng)過程中,存在某一時(shí)刻,使得線段CF與線段OP的長(zhǎng)度相等,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,)或(0,).

【解析】

試題分析:(1)連接O′O,作O′GOA于點(diǎn)G,根據(jù)AO=AO′,O′AO=2OPA=60°,即可得出O′AO是等邊三角形,再結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)O′的坐標(biāo);

(2)設(shè)直線O′A的解析式為y=kx+b,根據(jù)勾股定理可得出BO′的長(zhǎng)度,再根據(jù)O′在線段BC上和O′在CB延長(zhǎng)線上分兩種情況考慮,由此即可得出點(diǎn)O′的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)AO′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可得出直線O′A的解析式;

(3)假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)P(0,m),根據(jù)點(diǎn)O′在直線BC的上下兩側(cè)來分類討論.根據(jù)平行線的性質(zhì)找出相等的角從而得出兩三角形相似,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)(或等角的三角函數(shù)值相等)找出邊與邊之間的關(guān)系,由此即可列出關(guān)于m的方程,解方程即可得出結(jié)論.

解:(1)連接O′O,作O′GOA于點(diǎn)G,如圖1所示.

O′AO=2OPA=60°,AO=AO′,

∴△O′AO是等邊三角形,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),

OA=10,OG=OA=5,O′G=OA=5,

點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(5,5).

(2)設(shè)直線O′A的解析式為y=kx+b.

在RtABO′中,AO′=10,AB=8,

BO′6,

①當(dāng)O′在線段BC上時(shí),CO′=10﹣6=4,

點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(4,8),

則有,解得:,

此時(shí)直線O′A的解析式為y=﹣x+;

②當(dāng)O′在CB延長(zhǎng)線上時(shí),CO′=10+6=16,

點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(16,8),

則有,解得:

此時(shí)直線O′A的解析式為y=x﹣

(3)假設(shè)存在,由點(diǎn)O′的位置不同分兩種情況:

①當(dāng)點(diǎn)O′在BC的上方時(shí),設(shè)點(diǎn)P(0,m),過點(diǎn)O′作O′GOA于點(diǎn)G,過點(diǎn)P作PQO′G于點(diǎn)Q,如圖2所示.

OP=CF,

BF=BC﹣CF=10﹣m,

點(diǎn)C(0,8),

AB=OC=8.

在RtABF中,AB=8,BF=10﹣m,

AF==

O′Gx軸,ABOA,

O′GAB,

∴△O′GA∽△ABF,

,

O′G=,AG=,

O′Q=O′G﹣OP=﹣m,PQ=OA﹣AG=10﹣

∵∠PO′Q+O′PQ=90°,PO′Q+AO′G=90°,

∴∠O′PQ=AO′G=FAB,

,

PQ==10﹣,

解得:m1=,m2=10,

經(jīng)檢驗(yàn)m1=是分式方程的解,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,);

②當(dāng)點(diǎn)O′在BC的下方時(shí),設(shè)AF與y軸的交點(diǎn)為M,如圖3所示.

設(shè)點(diǎn)P(0,m),則CF=OP=m,

BF=10+m,AB=8,OA=10,AF==

BCAO,

∴∠AFB=MAO,

,

OM=

PM=OM﹣OP=﹣m,

∵∠MPO′與AMO互余,

∴∠MPO′=AFB,

,即,

解得:m3=,m4=﹣10(舍去),

經(jīng)檢驗(yàn)m3=是分式方程的解,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,).

綜上可知:當(dāng)點(diǎn)P在矩形OABC邊OC的運(yùn)動(dòng)過程中,存在某一時(shí)刻,使得線段CF與線段OP的長(zhǎng)度相等,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,)或(0,).

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