Question

【題目】如圖：是的內(nèi)接三角形，，，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）如果的半徑為2，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）．

【解析】

（1）首先連接OB，則,由易得，又由過(guò)點(diǎn)C作的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，易求得,繼而證的結(jié)論

（2）由的半徑為2，可求得,易證得,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案

（1）證明：連接OB，則∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝OBA＝45°，

∵∠AOC＝150°，OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC＝15°，

∴∠OCB＝∠OCA+∠ACB＝60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠BOC＝∠OBC＝60°，

∴∠CBD＝180°﹣∠OBA﹣∠OBC＝75°，

∵CD是⊙O的切線，

∴OC⊥CD，

∴∠D＝360°﹣∠OBD﹣∠BOC﹣∠OCD＝360°﹣（60°+75°）﹣60°﹣90°＝75°，

∴∠CBD＝∠D，

∴CB＝CD；

（2）在Rt△AOB中，，

∵CD是⊙O的切線，

∴∠DCB＝∠CAD，

∵∠D是公共角，

∴△DBC∽△DCA，

∴

∴CD2＝ADBD＝BD（BD+AB），

∵CD＝BC＝OC＝2，

∴，

解得：，

∴．