Question

如圖，AB、CD是兩個過江電纜的鐵塔，塔AB高40米，AB的中點為P，塔底B距江面的垂直高度為6米．跨江電纜因重力自然下垂近似成拋物線形，為了保證過往船只的安全，電纜下垂的最低點距江面的高度不得少于30米．已知：人在距塔底B點西50米的地面E點恰好看到點E、P、C在一直線上；再向西前進150米后從地面F點恰好看到點F、A、C在一直線上．
（1）求兩鐵塔軸線間的距離（即直線AB、CD間的距離）；
（2）若以點A為坐標原點，向東的水平方向為x軸，取單位長度為1米，BA的延長方向為y軸建立坐標系．求剛好滿足最低高度要求的這個拋物線的解析式．

Answer 1

解：如圖，AB=40米，BP=20米，BE=50米，BF=50+150=200（米）．
設(shè)CD的延長線交地平面于點H．
（1）設(shè)CH=x，
BH=y
由△EBP∽△EHC得=，即=①
由△FBA∽△FHC得=，即=②
由①②解得：x=60，y=100
答：兩鐵塔軸線間的距離為100米；

（2）依題意建立坐標系如圖，由（1）得CH=60米，C點比A點高20米，
這時A、C兩點的坐標為：A（0，0），C（100，20），
設(shè)拋物線頂點為P（x₀，y₀），
因為要求最低點高于地面為30-6=24（米），點A高度為40米，所以y₀=-16．
設(shè)過點A的拋物線解析式為y=ax²+bx（a＞0），則該拋物線滿足：

化簡得：125b²+80b-16=0
解得：b₁=，b₂=-
∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，有＞0，而a＞0
∴b＜0，故b1=舍去
把b₂=-代入前式得：a=
∴y=x²-x
答：所求拋物線的解析式為y=x²-x．

分析：（1）根據(jù)題意，連接CA并延長到F，連接CP并延長到E，CD的延長線交地平面于點H．于是構(gòu)造了兩對相似三角形：EBP∽△EHC，△FBA∽△FHC，利用相似三角形的性質(zhì)，建立起AB、CD之間的關(guān)系式，解方程組即可；
（2）因為點A為坐標原點，則可設(shè)過原點的二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx（a＞0），將C（100，20）代入上式可得關(guān)于a、b的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)頂點坐標公式和最低點高于地面為30-6=24（米），點A高度為40米，得到關(guān)于a、b的關(guān)系式，于是可以求出二次函數(shù)解析式．
點評：此題是一道實際問題，結(jié)合了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、和根據(jù)函數(shù)圖象上點的特征求函數(shù)解析式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活的本質(zhì)．