Question

如圖所示，已知等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AF是∠BAC的平分線，交BC于點E，BF⊥AF于點F，求證：AE=2BF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長線段BF與AC的延長線交于點M．根據(jù)角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，由AAS證明△ACE≌△BCM，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：延長線段BF與AC的延長線交于點M．
∵AF為∠BAC的平分線，BF⊥AF，
∴AM=AB，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=45°，
∵AE為△ABC的角平分線，
∴∠AEC=90°-∠CAE=90°-22.5°=67.5°，
∴∠M=∠AEC=67.5°，
在△ACE與△BCM中，

∠M=∠AEC ∠ACE=∠BCM AC=BC

，
∴△ACE≌△BCM（AAS），
∴AE=BM=2BF．

點評：此題考查學(xué)生靈活運用全等三角形的判定與性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問題，是一道綜合題．關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等三角形．