Question

25、如圖①，頂點(diǎn)為A的拋物線E：y=ax²-2ax（a＞0）與坐標(biāo)軸交于O、B兩點(diǎn)．拋物線F與拋物線E關(guān)于x軸對(duì)稱．
（1）求拋物線F的解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（可用含a的式子表示）；
（2）如圖②，直線l：y=ax（a＞0）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與拋物線E交于點(diǎn)Q，判斷拋物線F的頂點(diǎn)C是否在直線l上；

（3）直線OQ繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，在x軸上方與直線BC交于點(diǎn)M，與直線AC交于點(diǎn)N．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)利用圖③，圖④探究∠OMC與∠ABN滿足怎樣的關(guān)系，并驗(yàn)證．

Answer 1

分析：（1）利用配方法把y=ax²-2ax（a＞0）從一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，直接利用頂點(diǎn)式的特點(diǎn)求解．
（2）把點(diǎn)C的橫坐標(biāo)代入直線l，得到的縱坐標(biāo)是否與點(diǎn)C相同即可．
（3）連接OC，BN，在△OCM和在△BNA中由三角形內(nèi)角和求得∠OMC與∠ABN相等．

解答：解：（1）由題意：y=ax²-2ax=a（x-1）²-a，
頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1，-a），
點(diǎn)C關(guān)于x軸與點(diǎn)A對(duì)稱則C（1，a），
∴拋物線F的解析式：y=-a（x-1）²+a；
（2）依題意，把點(diǎn)C（1，a）的橫坐標(biāo)代入直線l：y=ax（a＞0）得：
其縱坐標(biāo)y=a
所以直線直線l：y=ax（a＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
（3）
由題意可得OC=BC=AB，
∴∠BAC=∠BCA=∠OCA，
∵點(diǎn)N為對(duì)稱軸上的點(diǎn)，
∴∠BNC=∠CNO，
在△OCM中，則∠OMC+∠OCM+∠COM=180°，
在△BNA中，則∠NBA+∠BNA+∠BAN=180°，
由以上證得：∠BAC=∠BCA=∠OCA，∠BNC=∠CNO，
又由對(duì)頂角相等，即∠ONC=∠MNA，
∴∠OMC=∠ABN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及到了頂點(diǎn)式，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，以及與多條相關(guān)直線交錯(cuò)形成三角形，而解內(nèi)角和的問(wèn)題．