Question

【題目】如圖，拋物線y＝－x2－2x＋3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N，若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時，求△AEM的面積；
（3）在(2)的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ，過拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線，與直線AC交于點(diǎn)G(點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方)．若， 求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由拋物線 可知，C（0，3），令y=0，則 ，解得x=﹣3或x=1，∴A（﹣3，0），B（1，0）

（2）解：由拋物線 可知，對稱軸為x=﹣1，設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則PM= ，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周長=2（PM+MN）=（ ）×2= = ，

∴當(dāng)m=﹣2時矩形的周長最大．

∵A（﹣3，0），C（0，3），設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，解得k=1，b=3，

∴解析式y(tǒng)=x+3，當(dāng)x=﹣2時，則E（﹣2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S= AMEM=

（3）解：∵M(jìn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2，拋物線的對稱軸為x=﹣1，∴N應(yīng)與原點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合，∴DQ=DC，把x=﹣1代入 ，解得y=4，∴D（﹣1，4），∴DQ=DC= ，∵FG= DQ，∴FG=4，設(shè)F（n， ），則G（n，n+3），∵點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方，∴ =4，解得：n=﹣4或n=1，∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）

【解析】（1）由拋物線解析式，得到C點(diǎn)坐標(biāo)，由拋物線y＝－x2－2x＋3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由拋物線的解析式求出稱軸，求出矩形PMNQ的周長的值，由A、C的坐標(biāo)，求出AC的解析式，求出△AEM的面積；（3）根據(jù)題意得到N應(yīng)與原點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合，得到DQ=DC，由點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方，得到二次方程，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；此題是綜合題，難度較大，計(jì)算和解方程時需認(rèn)真仔細(xì).