Question

如圖1，⊙O是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的外接圓，點(diǎn)D在

BC

上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AD、CD
（1）在圖1中，求證：∠CDE=∠DAB；
（2）如圖2，①當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)DE與⊙O相切？并證明你的結(jié)論；
②在①的條件下，求△ACD的面積．

Answer 1

分析：（1）由DE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)與圓周角定理，即可證得：∠CDE=∠DAB；
（2）①當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到

BC

的中點(diǎn)時(shí)，由垂徑定理，可得OD⊥BC，又由DE∥BC，即可得OD⊥DE，即可證得DE與⊙O相切；
②首先證得△ACD是直角三角形，然后求得CD的長(zhǎng)，即可求得△ACD的面積．

解答：（1）證明：∵DE∥BC，
∴∠BCD=∠CDE，
∵∠DAB=∠BCD，
∴∠CDE=∠DAB；

（2）①當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到

BC

的中點(diǎn)時(shí)，DE與⊙O相切．
證明：∵點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到

BC

的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切；

②連接OB，OC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BOC=

1

3

×360°=120°，∠ACB=60°，
∴∠BOD=60°，
∴∠BCD=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AD是⊙O的直徑，
∵∠DAC=

1

2

∠BAC=30°，
∴CD=AC•tan30°=6×

3

3

=2

3

，
∴S_△ACD=

1

2

AC•CD=

1

2

×6×2

3

=6

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)與判定、垂徑定理、圓周角定理以及等邊三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．