Question

探究與應(yīng)用請觀察下列各式：
①

1

1×2

=1-

1

2

，②

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，③

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，④

1

4×5

=

1

4

-

1

5

．
（1）第10個算式為

 

=

 

；
（2）請計算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

；
（3）請參照以上各式特點計算：

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

28×31

．

Answer 1

考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類,有理數(shù)的混合運算

專題：

分析：（1）第1個算式的分子為1，分母為1×2，第2個算式的分子為1，分母為2×3，…第10個算式的分子為1，分母為10×11，第n個算式的分子為1，分母為n×（n+1）；
（2）依據(jù)上面這種算式的規(guī)律把各個分?jǐn)?shù)分解為2個分?jǐn)?shù)的差，化簡后只剩2個數(shù)的差，計算即可；
（3）把各個分?jǐn)?shù)分解為2個分?jǐn)?shù)的差乘

1

3

，化簡后計算即可．

解答：解：（1）第10個算式為

1

10×11

=

1

10

-

1

11

；
（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

9

-

1

10

=1-

1

10

=

9

10

；
（3）

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

28×31

=

1

3

×（1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+

1

7

-

1

10

+…+

1

28

-

1

31

）
=

1

3

×（1-

1

31

）
=

1

3

×

30

31

=

10

31

．

點評：此題考查數(shù)字的變化規(guī)律；得到分子為1，分母為兩個相鄰數(shù)的分?jǐn)?shù)的計算規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．