Question

如圖，等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120°，M，N分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)．
（1）用尺規(guī)作圖的方法，在AC上找一點(diǎn)P，使得MP+NP最短．（不用寫作法，保留作圖痕跡）
（2）請(qǐng)猜想點(diǎn)P在邊AC的什么位置上，試用這個(gè)結(jié)論，若三角形ABC的邊AC上的高為1，求MP+NP的最短長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）以點(diǎn)M為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧與AC相交于兩點(diǎn)，再以這兩點(diǎn)為圓心，以大于它們

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長(zhǎng)度為半徑畫弧，相交于一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)與M作直線與AC相交于點(diǎn)O，再截取OM′=OM，然后連接M′N與AC相交于點(diǎn)P，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，點(diǎn)P即為使MP+NP最短的點(diǎn)；
（2）根據(jù)等腰三角形的對(duì)稱性猜測(cè)點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)；連接PM、BP，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BP是AC邊上的高，再求出∠A=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AB=2BP，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得PM=

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AB，同理求出PN，相加即可得解．

解答：解：（1）如圖所示，點(diǎn)P即為所求；

（2）P是AC的中點(diǎn)．
連接PM，BP，
∵AB=BC，P是AC的中點(diǎn)，
∴BP為AC邊上的高，BP=1，
∴∠APB=90°．
∵∠B=120°，
∴∠BAP=30°，
∴AB=2BP=2×1=2，
又∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴PM=

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2

AB=

1

2

×2=1，
同理PN=1，
∴PM+PN=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題的方法需熟練掌握并靈活運(yùn)用，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．