Question

【題目】類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．

（1）如圖 1，在四邊形 ABCD 中，添加一個條件使得四邊形 ABCD 是“等鄰邊四邊形”．請寫出你添加的一個條件．

（2）小紅猜想：對角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形．她的猜想正確嗎？請說明理由．

（3）如圖 2，小紅作了一個Rt△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，并將 Rt△ABC 沿∠ABC 的平分線 BB′方向平移得到△A′B′C′，連結(jié) AA′， BC′．小紅要使得平移后的四邊形 ABC′A′是“等鄰邊四邊形”，應平移多少距離（即線段 B′B 的長）？

Answer 1

【答案】（1）AB＝BC 或 BC＝CD 或 CD＝AD 或 AD＝AB；（2）解：小紅的結(jié)論正確，理由詳見解析；（3）平移 2 或 或 或．

【解析】

（1）由“等鄰邊四邊形”的定義易得出結(jié)論；

（2）①先利用平行四邊形的判定定理得平行四邊形，再利用“等鄰邊四邊形”定義得鄰邊相等，得出結(jié)論；

②由平移的性質(zhì)易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=5，再利用“等鄰邊四邊形”定義分類討論，由勾股定理得出結(jié)論；

（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABF≌△ADC，由全等性質(zhì)得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，F(xiàn)B=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代換得出結(jié)論．

（1）解：AB＝BC 或 BC＝CD 或 CD＝AD 或 AD＝AB

（2）解：小紅的結(jié)論正確．

理由如下：∵四邊形的對角線互相平分，

∴這個四邊形是平行四邊形，

∵四邊形是“等鄰邊四邊形”，

∴這個四邊形有一組鄰邊相等，

∴這個“等鄰邊四邊形”是菱形，

（3）解：由∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，得：AC＝ ，

∵將 Rt△ABC 平移得到 Rt△A′B′C′，

∴BA′＝AA′，A′B′∥AB，A′B′＝AB＝2，B′C′＝BC＝1，A′C′＝AC＝，

①如圖 1，當 AA′＝AB 時，BB′＝AA′＝AB＝2，

②如圖 2，當 AA′＝A′C′時，BB′＝AA′＝AC′＝，

③當 AC′＝BC′＝時，如圖 3，延長 C′B′交 AB 于點 D，則 C′B′⊥AB

∵BB′平分∠ABC，

∴∠ABB′＝ ∠ABC＝45°

∴∠BB′D＝∠ABB′＝45°，

∴B′D＝BD，

設 B′D＝BD＝x，則 C′D＝x+1，BB′＝x

∵根據(jù)在 Rt△BC′D 中，BC′2＝C′D2+BD2 即 x2+（x+1）2＝5

解得：x＝1 或 x＝﹣2（不合題意，舍去）

∴BB′＝

④當BC′＝AB＝2 時，如圖4，與（III）方法同理可得：（舍去）

∴ .

故應平移 2 或或或．