Question

【題目】已知：矩形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，，且，的平分線交于點(diǎn)．

（1）如圖1，求的大��；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，連接，且．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，若的周長(zhǎng)與的周長(zhǎng)的差為2，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）詳見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）令，由矩形的性質(zhì)可得，由三角形外角性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得，從而求出∠BFC的大小；

（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，先證明，再證，從而證明；

（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，先證明，得到，再證，得，根據(jù)的周長(zhǎng)與的周長(zhǎng)的差為2，求出，設(shè)，則，，在中和中，根據(jù)勾股定理求出a的值，從而求出MN的長(zhǎng)度.

（1）解：如圖，令，

∴四邊形是矩形，

∴

∵，

∴，

∴，

∴，

又∵平分，

∴，

∴；

（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵四邊形是矩形，

∴， ，

∵，

∴，

∵，

∴ ，

∴，

在四邊形中， ，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴；

（3）解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

∵四邊形是矩形，

∴，，，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∵為中點(diǎn)，

∴，

∴ ，

∴，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

∵，，，

∴ ，

∴ ，，

∴，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

又∵的周長(zhǎng)與的周長(zhǎng)的差為2，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

設(shè)，則，，

∴，

在中，，

在中，，

∴解得，（舍），

∴，，

∴，

∴，，

∴.