【題目】將兩塊斜邊長相等的等腰直角三角板按如圖①擺放,斜邊AB分別交CD,CE于M,N點.
(1)如果把圖①中的△BCN繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF,連接FM,如圖②,求證:△CMF≌△CMN;
(2)將△CED繞點C旋轉(zhuǎn),則:
①當點M,N在AB上(不與點A,B重合)時,線段AM,MN,NB之間有一個不變的關(guān)系式,請你寫出這個關(guān)系式,并說明理由;
②當點M在AB上,點N在AB的延長線上(如圖③)時,①中的關(guān)系式是否仍然成立?
【答案】(1)見解析;(2)①見解析;②仍然成立.
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CF=CN,∠ACF=∠BCN,再求出∠ACM+∠BCN=45°,從而求出∠MCF=45°,然后利用“邊角邊”證明△CMF和△CMN全等即可;
(2)①根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得FM=MN,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AF=BN,∠CAF=∠B=45°,從而求出∠BAF=90°,再利用勾股定理列式即可得解;
②把△BCN繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AF=BNCF=CN,∠BCN=∠ACF,再求出∠MCF=∠MCN,然后利用“邊角邊”證明△CMF和△CMN全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MF=MN,然后利用勾股定理列式即可得解.
(1)∵△BCN繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF,
∴CF=CN,∠ACF=∠BCN,
∵∠DCE=45°,
∴∠ACM+∠BCN=45°,
∴∠ACM+∠ACF=45°,
即∠MCF=45°,
∴∠MCF=∠MCN,
在△CMF和△CMN中,
,
∴△CMF≌△CMN(SAS);
(2)①∵△CMF≌△CMN,
∴FM=MN,
又∵∠CAF=∠B=45°,
∴∠FAM=∠CAF+∠BAC=45°+45°=90°,
∴AM2+AF2=FM2,
∴AM2+BN2=MN2;
②如圖,把△BCN繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF,
則AF=BN,CF=CN,∠BCN=∠ACF,
∵∠MCF=∠ACB-∠MCB-∠ACF=90°-(45°-∠BCN)-∠ACF=45°+∠BCN-∠ACF=45°,
∴∠MCF=∠MCN,
在△CMF和△CMN中,
,
∴△CMF≌△CMN(SAS),
∴FM=MN,
∵∠ABC=45°,
∴∠CAF=∠CBN=135°,
又∵∠BAC=45°,
∴∠FAM=∠CAF-∠BAC=135°-45°=90°,
∴AM2+AF2=FM2,
∴AM2+BN2=MN2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”(如圖),此圖揭示了(a+b)n(n為非負整數(shù))展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律.
例如:
(a+b)0=1
(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
…
請你猜想(a+b)9的展開式中所有系數(shù)的和是( 。
A.2018B.512C.128D.64
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)操作:如圖,在已知內(nèi)角度數(shù)的三個三角形中,請用直尺從某一頂點畫一條線段,把原三角形分割成兩個等腰三角形,并在圖中標注相應(yīng)的角的度數(shù)
(2)拓展,△ABC中,AB=AC,∠A=45°,請把△ABC分割成三個等腰三角形,并在圖中標注相應(yīng)的角的度數(shù).
(3)思考在如圖所示的三角形中∠A=30°.點P和點Q分別是邊AC和BC上的兩個動點.分別連接BP和PQ把△ABC分割成三個三角形.△ABP,△BPQ,△PQC若分割成的這三個三角形都是等腰三角形,求∠C的度數(shù)所有可能值直接寫出答案即可.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,四邊形中,,,點分別在邊上,且,求證:.
(2)如圖2,四邊形中,,點在邊上,連接,平分交于點,,,連接.
①找出圖中與相等的線段,并加以證明;
②求的度數(shù)(用含的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,A(﹣3,4),B(﹣4,1),C(﹣1,1)
(1)在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的軸對稱圖形△A′B′C′;
(2)直接寫出A,B關(guān)于y軸的對稱點A″,B″的坐標;
(3)求△ABC關(guān)于y軸的軸對稱圖形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將矩形(長方形)沿折疊,使點與點重合,點落在處,連接,,則下列結(jié)論:①,②,③,④,,三點在同一直線上,其中正確的是( )
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,直線分別交軸、軸于點,點,且、滿足.
(1)求,的值;
(2)以為邊作,點在直線的右側(cè)且,求點的坐標;
(3)若(2)的點在第四象限(如圖2),與交于點,與軸交于點,連接,過點作交軸于點.
①求證;
②直接寫出點到的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是邊長為6的等邊三角形,是邊上一動點,由向運動(與、不重合),是延長線上一動點,與點同時以相同的速度由向延長線方向運動(不與重合),過作于,連接交于.
(1)當時,求的長;
(2)在運動過程中線段的長是否發(fā)生變化?如果不變,求出線段的長;如果發(fā)生改變,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E、F分別在BC、CD上,△AEF是等邊三角形,連接AC交EF于點G,下列結(jié)論:①;②AG=GC;③BE+DF=EF;④.其中正確的是( )
A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④
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