Question

問題：你能比較兩個數2010²⁰¹¹和2011²⁰¹⁰的大小嗎？為了解決問題，我們先把它抽象成數學問題，寫出它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大�。╪是正整數），然后，從分析n=1，n=2，n=3，…這些簡單情形入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經過歸納，猜想出結論：已通過計算，比較下列各組數中兩個數的大小（填＞，＜，=）
①1²

＜

2¹；②2³

＜

3²；③3⁴

＞

4³；④4⁵

＞

5⁴；⑤5⁶

＞

6⁵
（1）從上面的結果經過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關系是

當n＜3時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當n＞3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ

．
（2）根據上面的歸納猜想得到的一般結論，試比較下列兩個數的大小：2010²⁰¹¹

＞

2011²⁰¹⁰．

Answer 1

分析：根據有理數的乘方的定義分別進行計算，再進行比較即可；
（1）根據上述得出的答案分情況解答即可；
（2）根據（1）的結論解答即可．

解答：解：①1²=1，2¹=2，則1^2＜2¹；
②2³=8，3²=9，則2³＜3²；
③3⁴=81，4³=64，則3⁴＞4³；
④4⁵=1024，5⁴=625，則4⁵＞5⁴；
⑤5⁶＞6⁵；
故答案為：＜，＜，＞，＞，＞；
（1）從上面的結果經過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關系是：
當n＜3時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當n＞3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
故答案為：當n＜3時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當n＞3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（2）∵2010＞3，
∴2010²⁰¹¹＞2011²⁰¹⁰．
故答案為：＞．

點評：本題考查了有理數的乘方，有理數的大小比較，理解有理數的乘方的意義準確計算是解題的關鍵．