Question

如圖1，直線y=-

3

4

x+3與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C（m，n）是第二象限內(nèi)任意一點(diǎn)，以點(diǎn)C為圓心的圓與x軸相切于點(diǎn)E，與直線AB相切于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)四邊形OBCE是矩形時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，若⊙C與y軸相切于點(diǎn)D，求⊙C的半徑r．

Answer 1

分析：（1）求出A、B的坐標(biāo)，求出AB長(zhǎng)，證△CFB∽△BOA，得出比例式，代入求出CB即可；
（2）根據(jù)切線長(zhǎng)定理求出AF=AE，BD=BF，根據(jù)⊙C的半徑是r，推出正方形ODCE，推出OD=OE=r，代入AE=AF=AB+BF=AB+BD，即可求出答案．

解答：（1）解：把x=0代入y=-

3

4

x+3得：y=3，
把y=0代入y=-

3

4

x+3得：x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
即AO=4，OB=3，
由勾股定理得：AB=5，
∵四邊形OBCE是矩形，
∴∠CBO=90°，CE=OB=3，
∵AB切⊙C于F，
∴∠CFB=90°=∠CBO，
∴∠FCB+∠FBC=90°，∠FBC+∠ABO=90°，
∴∠FCB=∠AOB，
∵∠CFB=∠AOB=90°，
∴△CFB∽△BOA，
∴

CB

AB

=

CF

OB

，
∴

CB

5

=

3

3

，
∴CB=5，
∴C的坐標(biāo)是（-5，3）．

（2）解：∵⊙C切AB于F，切x軸于E，切y軸于D，
∴BF=BD，AF=AE，∠CDO=∠DOE=∠CEO=90°，DC=CE，
∴四邊形CDOE是正方形，
∴EC=OD
∵⊙C的半徑是r，
∴CE=CD=DO=OE=r，
∵A（4，0），AB=5，
∴4+r=5+BF=5+BD=5+3-r，
即4+r=5+3-r
r=2，
答：⊙C的半徑是2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，一次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，切線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．