Question

二次函數(shù)y=

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（x-2）²+k，交y軸于點A，B是頂點，P為x軸上一動點，若k=1時△ABP能否成為直角三角形？求P點坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：先將k=1代入y=

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（x-2）²+k，得y=

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（x-2）²+1，則A（0，2），B（2，1），再設(shè)P點坐標(biāo)為（x，0），分三種情況進行討論：①∠A為直角；②∠B為直角；③∠P為直角．每一種情況都可以根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可求出P點坐標(biāo)．

解答：解：將k=1代入y=

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（x-2）²+k，
得y=

1

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（x-2）²+1，
則A（0，2），B（2，1），
所以AB²=（2-0）²+（1-2）²=5．
設(shè)P點坐標(biāo)為（x，0），分三種情況：
①如果∠A為直角，那么AB²+AP²=BP²，
即5+（x-0）²+（0-2）²=（x-2）²+（0-1）²，
解得x=-1，
所以P點坐標(biāo)為（-1，0）；
②如果∠B為直角，那么AB²+BP²=AP²，
即5+（x-2）²+（0-1）²=（x-0）²+（0-2）²，
解得x=

3

2

，
所以P點坐標(biāo)為（

3

2

，0）；
③如果∠P為直角，那么AP²+BP²=AB²，
即（x-0）²+（0-2）²+（x-2）²+（0-1）²=5，
整理，得x²-2x+2=0，
∵△=4-4×1×2=-4＜0，
∴原方程無解．
綜上所述，k=1時△ABP能成為直角三角形，此時P點坐標(biāo)為（-1，0）或（

3

2

，0）．

點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，勾股定理，注意本題要分三種情況討論，不要漏解．