Question

如圖，一次函數(shù)y=x-2的圖象分別交y軸、x軸于A、B兩點，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象過A、B兩點．
（1）求這個二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）作垂直x軸的直線x=t，在第四象限交直線AB于點M，交二次函數(shù)的圖象于點N．求當(dāng)t取何值時，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐標．

Answer 1

解：（1）令x=0，則y=-2，
令y=0，則x-2=0，解得x=4，
所以，點A（0，-2），B（4，0），
∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象過A、B兩點，
∴，
解得，
∴這個二次函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=x²-x-2；

（2）由題意得，MN=t-2-（t²-t-2），
=-t²+4t，
=-（t-2）²+4，
∴當(dāng)t=2時，MN有最大值4；

（3）如圖，①AM是對角線時，AD=MN=4，
∴OD=4-2=2，
此時點D₁（0，2），
②AN是對角線時，AD=MN=4，
∴OD=4+2=6，
此時點D₂（0，-6），
③MN是對角線時，點M的坐標為（2，-1），N（2，-5），
線段MN的中點坐標為（2，-3），
∵點A（0，-2），
∴點D₃的橫坐標為2×2-0=4，
縱坐標為2×（-3）-（-2）=-6+2=-4，
此時，點D₃（4，-4），
綜上所述，點D₁（0，2），D₂（0，-6），D₃（4，-4）時，以A、M、N、D為頂點的四邊形是平行四邊形．
分析：（1）根據(jù)直線解析式求出點A、B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)直線和二次函數(shù)的解析式表示出MN，然后利用二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）分AM、AN是對角線時，根據(jù)平行四邊形的對邊相等求AD=MN，然后求出OD的長度，再寫出點D的坐標即可；MN是對角線時，求出MN的中點坐標，再根據(jù)中心對稱寫出點D的坐標即可．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)與坐標軸的交點的求解，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)，平行四邊形的中心對稱性，難點在于（3）分情況討論．