Question

如圖，在四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=5，AD=3．
（1）求證：AD=DC；
（2）求四邊形ABCD的周長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）在BC上取一點E，使BE=AB，連結(jié)DE，證得△ABD≌△EBD，進一步得出∠BED=∠A，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)與等量代換解決問題；
（2）首先判定△DEC為等邊三角形，求得BC，進一步結(jié)合（1）的結(jié)論解決問題．

解答：（1）解：在BC上取一點E，使BE=AB，連結(jié)DE．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
在△ABD和△EBD中，

AB=BE ∠ABD=∠EBD BD=BD

∴△ABD≌△EBD；
∴DE=AD，∠BED=∠A．
∵∠A=120°，
∴∠DEC=60°．
∵∠C=60°，
∴∠DEC=∠C．
∴DE=DC，
∴AD=DC．
（2）∵∠C=60°，DE=DC，
∴△DEC為等邊三角形
∴EC=CD=AD．
∵AD=3，
∴EC=CD=3
∵AB=5，
∴BE=AB=5．
∴四邊形ABCD的周長為19

點評：此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形和等邊三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合圖形，靈活解答．