Question

問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、、，求這個(gè)三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積，這種方法叫做構(gòu)圖法．
（1）則△ABC的面積為______．
（2）如圖△PQR，以三邊向形外作正方形，正方形的面積分別為10、13、17，請根據(jù)前面正方形網(wǎng)格求面積的方法求△PQR的面積為______．
（3）在圖②中畫△DEF，使DE、EF、DF的長分別為、、，判斷三角形的形狀，說明理由．

Answer 1

解：（1）S_△ABC=3×3-×1×2-×2×3-×1×3=；

（2）建立起網(wǎng)格，如圖（1）所示，

則可得：S_△ABC=3×4-×1×4-×1×3-×2×3=；

（3）如圖所示：

∵DE=，EF=2，DF=，
∴DE²+EF²=DF²，
∴△DEF是直角三角形．
分析：（1）根據(jù)題目設(shè)置的問題背景，結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先建立網(wǎng)格，然后將△PQR，建立在網(wǎng)格上，利用構(gòu)圖法求解即可；
（3）根據(jù)勾股定理，找到DE、EF、DF的長分別為、、，由勾股定理的逆定理可判斷△DEF是直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理及作圖的知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是仔細(xì)理解問題背景，構(gòu)圖法求三角形的面積是經(jīng)常用到的，同學(xué)們注意仔細(xì)掌握．