Question

如圖，拋物線C₁：y=ax²+bx+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，0），

1.求拋物線C₁的解析式；

2.如圖1，將拋物線C₁向右平移1個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位得到拋物線C₂，直線y=x+c，經(jīng)過點(diǎn)D交y軸于點(diǎn)A，交拋物線C₂于點(diǎn)B，拋物線C₂的頂點(diǎn)為P，求△DBP的面積

3.如圖2，連接AP，過點(diǎn)B作BC⊥AP于C，設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動點(diǎn)，連接PQ并延長交BC于點(diǎn)E，連接BQ并延長交AC于點(diǎn)F，試證明：FC·（AC+EC）為定值．

 

Answer 1

【答案】

 

1.解：∵拋物線頂點(diǎn)為P（1，0），經(jīng)過點(diǎn)（0，1）

∴可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²，將點(diǎn)（0，1）代入，得a=1，

∴拋物線的解析式為y=x²-2x+1；                        3分

2.解：根據(jù)題意，平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)P（2，-1）

∴拋物線的解析式為：y=（x-2）²-1，

∴A（0，-1），B（4，3），∴S_△DBP=3；

3.證明：過點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（t，t²-4t+3），則QM=CN=（t-2）²，MC=QN=4-t．

∵QM∥CE，∴△PQM∽△PEC，

∴QM ：EC =PM ：PC ，即(t-2) ² ：EC =t-1 ：2 ，

得EC=2（t-2），

∵QN∥FC，∴△BQN∽△BFC，

∴QN ：FC =BN ：BC ，

即4-t ：FC =3-(t ² -4t+3) ：4 ，

得FC=4 ：t ，又∵AC=4，

∴FC（AC+EC）= [4+2（t-2）]=8，

即FC（AC+EC）為定值8．                           9分

【解析】（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)解析式為y=a（x-1）²，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得a的值，即可知拋物線解析式；

（2）根據(jù)平移規(guī)律得出平移后的解析式，再求面積；

利用三角形的相似比得出FC（AC+EC）為定值8。