Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，D是AB延長線上的一點，AE⊥DC交DC的延長線于E，AC平分∠DAE．
（1）直線DE與⊙O有怎樣的位置關系？為什么？
（2）若AC=

3

，⊙O的半徑為1，求CD的長及由弧BC、線段BD、CD所圍成的陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）連接OC，然后證明OC∥AE，即可證得OC⊥DE，則DE是圓的切線；
（2）利用扇形的面積公式求得扇形OCD的面積，然后利用△OCD的面積減去扇形OCD的面積即可求解．

解答：解：（1）直線DE與⊙O相切．連結(jié)OC，
∵OA=OC
∴∠CAO=∠OCA，
又∵AC平分∠DAE，
∴∠EAC=∠OAO，
∴∠ECO=∠OCA，
∴AE∥OC，
∴OC⊥DC，
∴直線DE與⊙O相切；
（2）∵∠CAB=30°，
∴CD=

3

，
則S_△OCD=

1

2

•OC•CD=

3

2

，
S_扇形OCB=

60π

360

=

π

6

，
則陰影部分的面積為

3

2

-

π

6

．

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．