已知拋物線y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2，且滿足
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
=k(k≠0，1)，則稱拋物線y1，y2互為“友好拋物線”，則下列關于“友好拋物線”的說法：
①y1，y2開口方向，開口大小不一定相同； 
②y1，y2的對稱軸相同；
③如果y2的最值為m，則y1的最值為km；
④如果y2與x軸的兩交點間距離為d，則y1與x軸的兩交點間距離為|k|d．
正確的是
①②③
①②③
（請?zhí)钚蛱枺?/div>
分析：根據(jù)友好拋物線的條件，a1、a2的符號不一定相同，即可得到開口方向、開口大小不一定相同，代入對稱軸-
b
2a
和
4ac-b2
4a
即可判斷②、③，根據(jù)根與系數(shù)的關系求出與X軸的兩交點的距離|g-e|和|d-m|，即可判斷④．
解答：解：由已知可知：a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2，
①根據(jù)友好拋物線的條件，a1、a2的符號不一定相同，所以開口方向、開口大小不一定相同，故本選項正確；
②因為
a1
a2
=
b1
b2
=k，代入-
b
2a
得到對稱軸相同，故本選項正確；
③因為如果y2的最值是m，則y1的最值是
4a1c1-b2
4a1
=k•
4a2c2-b2
4a2
=km，故本選項正確；
④因為設直線y1于x軸的交點坐標是（e，f），（g，h），則e+g=-
b1
a1
，eg=
c1
a1
，
直線y2于x軸的交點坐標是（m，n），（d，p），則m+d=-
b2
a2
，md=
c2
a2
，
可求得：|g-e|=|d-m|=
b12-4a1c1
a12
，故本選項錯誤．
故答案為：①②③．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，拋物線于X軸的交點，二次函數(shù)的最值等知識點解此題的關鍵是能根據(jù)友好拋物線的條件進行判斷．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，已知拋物線y=ax2-2ax+b經過梯形OABC的四個頂點，若BC=10，梯形OABC的面積為18．
（1）求拋物線解析式；
（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，平移后的兩條直線分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1．設梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、B1的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代數(shù)式表示x2-x1，并求出當S=36時點A1的坐標；
（3）如圖3，設圖1中點D坐標為（1，3），M為拋物線的頂點，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發(fā)，以與點P相同的速度沿著線段DM運動．P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動．設P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•南昌）已知拋物線yn=-（x-an）2+an（n為正整數(shù)，且0＜a1＜a2＜…＜an）與x軸的交點為An-1（bn-1，0）和An（bn，0），當n=1時，第1條拋物線y1=-（x-a1）2+a1與x軸的交點為A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此類推．
（1）求a1，b1的值及拋物線y2的解析式；
（2）拋物線y3的頂點坐標為（
9
9
，
9
9
）；依此類推第n條拋物線yn的頂點坐標為（
n2
n2
，
n2
n2
）；所有拋物線的頂點坐標滿足的函數(shù)關系式是
y=x
y=x
；
（3）探究下列結論：
①若用An-1An表示第n條拋物線被x軸截得的線段長，直接寫出A0A1的值，并求出An-1An；
②是否存在經過點A（2，0）的直線和所有拋物線都相交，且被每一條拋物線截得的線段的長度都相等？若存在，直接寫出直線的表達式；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•余姚市模擬）已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點（3，5）、（2，8）、（0，8）．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）已知拋物線y1=a1x2+b1x+c1（a1≠0），y2=a2x2+b2x+c2（a2≠0），且滿足
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
=k(k≠0，1)，則我們稱拋物線y1與y2互為“友好拋物線”，請寫出當k=-
1
2
時第（1）小題中的拋物線的友好拋物線，并求出這友好拋物線的頂點坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點（3，5）、（2，8）、（0，8）．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）已知拋物線y1=a1x2+b1x+c1（a1≠0），y2=a2x2+b2x+c2（a2≠0），且滿足數(shù)學公式，則我們稱拋物線y1與y2互為“友好拋物線”，請寫出當數(shù)學公式時第（1）小題中的拋物線的友好拋物線，并求出這友好拋物線的頂點坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源：2013年上海市閘北區(qū)中考數(shù)學一模試卷（解析版） 題型：解答題

已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點（3，5）、（2，8）、（0，8）．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）已知拋物線y1=a1x2+b1x+c1（a1≠0），y2=a2x2+b2x+c2（a2≠0），且滿足，則我們稱拋物線y1與y2互為“友好拋物線”，請寫出當時第（1）小題中的拋物線的友好拋物線，并求出這友好拋物線的頂點坐標．

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