Question

【題目】如圖，點F在ABCD的對角線AC上，過點F、B分別作AB、AC的平行線相交于點E，連接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若BE=5，AD=8，sin∠CBE= ，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵EF∥AB，BE∥AF，

∴四邊形ABEF是平行四邊形．

∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF，

∴ABEF是菱形；

（2）解：作DH⊥AC于點H，

∵ ，

∴∠CBE=30°，

∵BE∥AC，

∴∠1=∠CBE，

∵AD∥BC，

∴∠2=∠1，

∴∠2=∠CBE=30°，

Rt△ADH中， ，

DH=ADsin∠2=4，

∵四邊形ABEF是菱形，

∴CD=AB=BE=5，

Rt△CDH中， ，

∴ ．

【解析】（1）由外角的性質(zhì)可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，又因為∠ABF=∠FBC+∠FCB，易得AB=AF，由菱形的判定定理可得結(jié)論；（2）作DH⊥AC于點H，由特殊角的三角函數(shù)可得∠CBE=30°，由平行線的性質(zhì)可得∠2=∠CBE=30°，利用銳角三角函數(shù)可得AH，DH，由菱形的性質(zhì)和勾股定理得CH，得AC．