Question

如圖，四邊形ABCD各邊中點分別是E、F、G、H，若對角線AC與BD相等，則四邊形HEFG是

菱

形．

Answer 1

分析：四邊形HEFG為菱形，理由為：由E和F分別為AB與BC的中點，得到EF為三角形ABC的中位線，理由中位線定理得到EF平行與AC，且等于AC的一半，同理得到HG平行于AC，且等于AC的一半，可得出EF與HG平行且相等，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到HEFG為平行四邊形，再由EH等于BD的一半，EF等于AC的一半，且BD=AC，得到鄰邊EH=EF，利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可得證．

解答：解：四邊形HEFG為菱形，理由為：
證明：∵E、F分別為AB、BC的中點，
∴EF為△ABC的中位線，
∴EF=

1

2

AC，EF∥AC，
∵H、G分別為AD、DC的中點，
∴HG為△ADC的中位線，
∴HG=

1

2

AC，HG∥AC，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四邊形HEFG為平行四邊形，
又E、H分別為AB、AD的中點，
∴EH為△ABD的中位線，
∴EH=

1

2

BD，
∵AC=BD，
∴EF=EH，
則四邊形HEFG為菱形．
故答案為：菱

點評：此題考查了中點四邊形，涉及的知識有：三角形的中位線定理，平行四邊形及菱形的判定，熟練掌握中位線定理是解本題的關(guān)鍵．