Question

在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（-1，0），如圖所示：拋物線y=ax²+ax-2經(jīng)過點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，1）；

（2）拋物線y=ax²+ax-2經(jīng)過點(diǎn)B（-3，1），
則得到1=9a-3a-2，
解得a=，
所以拋物線的解析式為y=x²+x-2；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：
①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；
則延長BC至點(diǎn)P₁，使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形△ACP₁，
過點(diǎn)P₁作P₁M⊥x軸，
∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCD，∠P₁MC=∠BDC=90°，
∴△MP₁C≌△DBC．
∴CM=CD=2，P₁M=BD=1，可求得點(diǎn)P₁（1，-1）；
②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；
則過點(diǎn)A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形△ACP₂，
過點(diǎn)P₂作P₂N⊥y軸，同理可證△AP₂N≌△CAO，
∴NP₂=OA=2，AN=OC=1，可求得點(diǎn)P₂（2，1），
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P₁（1，-1）與點(diǎn)P₂（2，1）都在拋物線y=x²+x-2上．
分析：（1）根據(jù)題意，過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D；根據(jù)角的互余的關(guān)系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)拋物線過B點(diǎn)的坐標(biāo)，可得a的值，進(jìn)而可得其解析式；
（3）首先假設(shè)存在，分A、C是直角頂點(diǎn)兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案．
點(diǎn)評：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，能力要求極高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．