Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點，四邊形ABDE是平行四邊形，AC，DE相交于點O．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE=120°，AE=4，求矩形ADCE對角線的長．

Answer 1

考點：矩形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由四邊形ABDE是平行四邊形，D為BC中點，易證得AE=CD，AE∥CD，即可判定四邊形ADCE是平行四邊形，又由在△ABC中，AB=AC，D為BC中點，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得AD⊥BC，繼而證得結(jié)論；
（2）由∠AOE=120°，可求得∠AED=30°，又由AE=4，即可求得矩形ADCE對角線的長．

解答：（1）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∵在△ABC中，AB=AC，D為BC中點，
∴AD⊥BC，CD=BD，
∴∠ADC=90°，CD=AE，CD∥AE，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴四邊形ADCE是矩形；

（2）解：∵四邊形ADCE是矩形，
∴OA=OC=OD=OE，
∵∠AOE=120°，
∴∠AED=30°，
∵AE=4，
∴DE=

AE

cos∠AED

=

4

3 2

=

8 3

3

．
∴矩形ADCE對角線的長為：

8 3

3

．

點評：此題考查了矩形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．