Question

如圖，在銳角△ABC的邊上分別作等腰Rt△ABP和等腰Rt△AQC．其中∠APB、∠AQC都是直角，M是BC中點，連PM、QM、PQ．求證：△PMQ為等腰三角形．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：作AB的中點D，AC的中點E 連MD，ME PD，QE，根據三角形的中位線定理和直角三角形的性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明PD=ME，EQ=MD，根據平行線的性質以及角的和差即可證明∠MDP=∠QEM，從而證明△MDP≌△QEM，即可證明△PMQ是等腰三角形．

解答： 證明：作AB的中點D，AC的中點E 連MD，ME PD，QE，
則有MD=

1

2

AC ME=

1

2

AB．
∵△ABP和△ACQ是等腰直角三角形，
∴PD=

1

2

AB，QE=

1

2

AC，
∴PD=ME，EQ=MD．
又∵MD∥AC 則
∴∠MDB=∠BAC．
同理∠MEC=∠BAC，
∴∠MDP=∠MDB+90°=∠MEC+90°=∠MEQ
在△MDP和△QEM中，

PD=ME ∠PDM=∠MEQ DM=EQ

，
∴△MDP≌△QEM（SAS）．
∴MP=QM，△PMQ是等腰三角形．

點評：本題考查了三角形的中位線定理以及全等三角形的判定與性質的綜合應用，證明線段相等的問題最常見的思路是轉化為證明三角形全等．