Question

（2009•嘉興）如圖，已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn)，MN=4，MA=1，MB＞1．以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成△ABC，設(shè)AB=x．
（1）求x的取值范圍；
（2）若△ABC為直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面積？

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)樗�求AB或x在△ABC中，所以可利用三角形三邊之間的關(guān)系即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊進(jìn)行解答．
（2）應(yīng)該分情況討論，因?yàn)椴恢�道在三角形中哪一個(gè)是作為斜邊存在的．所以有三種情況，即：①若AC為斜邊，則1=x²+（3-x）²，即x²-3x+4=0，無(wú)解．
②若AB為斜邊，則x²=（3-x）²+1，解得，滿足1＜x＜2．
③若BC為斜邊，則（3-x）²=1+x²，解得，滿足1＜x＜2．
∴或．
（3）在△ABC中，AB的值固定不變，即可視為底邊不變，但是因?yàn)槿�角形形狀不固定�?br />高在發(fā)生變化，所以造成面積不固定，需分情況進(jìn)行討論．具體分①若點(diǎn)D在線段AB上，②若點(diǎn)D在線段MA上兩種情況．
解答：解：（1）∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x．
∴，
解得1＜x＜2；

（2）①若AC為斜邊，則1=x²+（3-x）²，即x²-3x+4=0，無(wú)解，
②若AB為斜邊，則x²=（3-x）²+1，解得，滿足1＜x＜2，
③若BC為斜邊，則（3-x）²=1+x²，解得，滿足1＜x＜2，
∴或；

（3）在△ABC中，作CD⊥AB于D，
設(shè)CD=h，△ABC的面積為S，則，
①若點(diǎn)D在線段AB上，
則，
∴，
即，
∴x²（1-h²）=9x²-24x+16，
即x²h²=-8x²+24x-16．
∴S²=x²h²=-2x²+6x-4=-2（x-）²+（≤x＜2），
當(dāng)時(shí)（滿足≤x＜2）S²取最大值，從而S取最大值；
②若點(diǎn)D在線段MA上，
則，
同理可，得
S²=x²h²=-2x²+6x-4
=-2（x-）²+（1＜x≤），
易知此時(shí)，
綜合①②得，△ABC的最大面積為．
點(diǎn)評(píng)：解此題的關(guān)鍵是進(jìn)行全方面分析，注意一題多解．難易程度適中．