Question

如圖，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是線段AB中點(diǎn)，連接DM、CM、CD．若C在直線OB上，試判斷△CDM的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰直角三角形,直角三角形斜邊上的中線

專題：幾何綜合題

分析：由△OBD和△OCA是等腰直角三角形得到∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，由M為AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到DM=AM=BM，CM=AM=BM，則CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，理由三角形外角性質(zhì)得∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，則∠AMD-∠AMC=2（∠MBD-∠MBC）=2∠OBD=90°，于是可得到△CDM為等腰直角三角形．

解答：解：△CDM為等腰直角三角形．理由如下：
∵△OBD和△OCA是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，
而M為AB的中點(diǎn)，
∴DM=AM=BM，CM=AM=BM，
∴CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，
∴∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，
∴∠AMD-∠AMC=2（∠MBD-∠MBC）=2∠OBD=90°，
即∠CMD=90°，
∵CM=DM，
∴△CDM為等腰直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，靈活利用直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)是關(guān)鍵．