Question

如圖，△ABC和△CDE都是等腰三角形，且A、C、D三點(diǎn)共線，E是BC上一點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與BD相交于點(diǎn)F． 
（1）請(qǐng)你在圖中找出一對(duì)全等三角形（不另外添設(shè)輔助線），并寫出證明過(guò)程．
（2）若∠BDE=15°，試判斷AF與BD的位置關(guān)系，并證明你的判斷．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)推出AC=BC，CD=CD，∠ACE=∠BCD=90°，根據(jù)SAS推出即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出∠CAE=∠DBC，根據(jù)∠CAE+∠AEC=90°推出∠CBD+∠BEF=90°，求出∠EBF=90°即可．

解答：（1）△ACE≌△BCD，
證明：∵△ABC和△CDE都是等腰三角形，
∴AC=BC，CD=CD，∠ACE=∠BCD=90°，
在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）AF⊥BD，
證明：∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠DBC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠AEC=90°，
∵∠AEC=∠BEF，
∴∠CBD+∠BEF=90°，
∴∠EBF=180°-90°=90°，
∴AF⊥BD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出三角形ACE和三角形BCD全等．