Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D在AB的延長線上，且∠DCB=∠A．E是AB下半圓弧中點，連接CE交AD于F．
（1）求證：CD與⊙O相切．
（2）AF=8，EF=2

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，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線，證明∠OCD=90°即可解決問題；
（2）如圖，連接AE、BE；設(shè)BF=x，CF=y，證明8x=2

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y  ①；進而證明

1

2

(8+x)2=40+2

10

y  ②，聯(lián)立①②解方程組即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，連接OC；
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠A+∠B=90°，
而∠DCB=∠A，∠B=∠OCB，
∴∠DCB+∠OCB=90°，
即∠OCD=90°，
∴DC為⊙O的切線．
（2）如圖2，連接AE、BE；
∵AB為⊙O的切線，
∴∠AEB=90°；
又∵E是AB下半圓弧中點，
∴

AE

=

BE

，
∴AE=BE；
設(shè)BF=x，CF=y；
由相交弦定理得：AFx=EFy，
即8x=2

10

y  ①；
由勾股定理得：AE²+BE²=AB²，
即AE2=

1

2

(8+x)2；
∵

AE

=

BE

，
∴∠EAB=∠ACE，而∠AEC=∠AEC，
∴△AEF∽△CEA，
∴

AE

EC

=

EF

AE

，
∴AE2=EC•EF=2

10

(2

10

+y)，
∴

1

2

(8+x)2=40+2

10

y  ②，
連接①、②并解得：x=4，
∴AF=8+4=12，
∴⊙O的半徑為6．

點評：該命題以圓為載體，在考查切線的判定的同時，還滲透了對相交弦定理、勾股定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點的考查；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．