Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC為直徑的半圓O交斜邊AB于點(diǎn) D．

（1）證明：AD＝3BD；

（2）求弧BD的長(zhǎng)度；

（3）求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）﹣

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及圓周角和圓心角的性質(zhì)求出∠COD＝120°，結(jié)合圓的基本性質(zhì)得出BC＝2BD，再根據(jù)直角三角形中30°角的性質(zhì)得出AB＝2BC＝4BD，即可得出答案；

（2）根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出答案；

（3）根據(jù)割補(bǔ)法結(jié)合扇形的面積公式計(jì)算即可得出答案．

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴∠B＝60°，

∴∠COD＝120°，

∵BC＝4，BC為半圓O的直徑，

∴∠CDB＝90°，

∴∠BCD＝30°，

∴BC＝2BD，

∵∠A＝30°，

∴AB＝2BC＝4BD，

∴AD＝3BD；

（2）由（1）得∠B＝60°，

∴OC＝OD＝OB＝2，

∴弧BC的長(zhǎng)為；

（3）∵BC＝4，∠BCD＝30°，

∴CD＝BC＝，

圖中陰影部分的面積＝S扇形COD﹣S△COD＝．