Question

【題目】如圖，，是射線上一點(diǎn)，以為圓心，的長(zhǎng)為半徑作，使，是上一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，連接．

嘗試： （1）點(diǎn)在所在的圓 （填“內(nèi)”“上”或“外”）；

（2） ．

發(fā)現(xiàn) ：（1）的最大值為 ；

（2）當(dāng)，時(shí)，判斷與所在圓的位置關(guān)系．

探究：當(dāng)點(diǎn)與的距離最大時(shí)，求的長(zhǎng)．（注：）

Answer 1

【答案】嘗試：（1）上；（2）3；發(fā)現(xiàn)：（1）3；（2）相切，理由見解析；探究：

【解析】

嘗試：（1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；
（2）如圖1，延長(zhǎng)AO交所在圓上的點(diǎn)E，連接BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAO=∠ABO=14°，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
發(fā)現(xiàn)：（1）在Rt△AOD中解直角三角形即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)弧長(zhǎng)公式求得∠BOP=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
探究：作P′E⊥AB于點(diǎn)E，連接P′A，如圖2，此時(shí)OE⊥AB，求得，根據(jù)勾股定理得到，，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得到AP=AP′=2．

嘗試 （1）點(diǎn)P′在所在的圓上，
故答案為：上；
（2）如圖1，延長(zhǎng)AO交所在圓上的點(diǎn)E，
連接BE，
則∠ABE=90°，
∵∠AOB=152°，OB=OA，
∴∠BAO=∠ABO=14°，
∵OA=4，
∴AE=2OA=8，
∴AB=AEcos14°=8×=2，
故答案為：2；

發(fā)現(xiàn) （1）當(dāng)OP⊥AB時(shí)，PD有最大值，
在Rt△AOD中，∵OA=4，cos∠OAD= ，

∴AD=，
∴OD==1，
∴PD=4-1=3，
∴PD的最大值為3，
故答案為：3；

（2）相切．

理由如下：

當(dāng)時(shí)，．

解得，即．

∵．

∴．

又，∴，

∵是半徑，

∴與所在的圓相切．

探究 作于點(diǎn)．

∵點(diǎn)在所在的圓上，∴當(dāng)過(guò)圓心時(shí)，最大．

連接，如圖2．

此時(shí)．

．

∵，

∴．

∵，∴．

∴．

又點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，

∴．