Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AM，BN分別切⊙O于點A，B，CD交AM，BN于點D，C，DO平分∠ADC．
（1）求證：AM∥BN；
（2）求證：CD是⊙O的切線；
（3）若F是CD的中點，問：OF與CD的數(shù)量關(guān)系如何；
（4）已知AD=x，BC=y，其中x，y是方程x²-13x+k=0的兩根，xy=36，求⊙O的半徑R．

Answer 1

考點：圓的綜合題,平行線的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得AM⊥AB，BN⊥AB，即可證到AM∥BN；
（2）過點O作OE⊥DC于E，只需運用角平分線的性質(zhì)即可解決問題；
（3）根據(jù)切線長定理可得DA=DE，CB=CE，然后運用梯形中位線定理就可解決問題；
（4）根據(jù)切線長定理可得∠ADO=∠EDO，∠BCO=∠ECO，然后運用平行線的性質(zhì)可得∠ADO+∠BCO=90°，由此可得到∠AOD=∠BCO，從而可得△OAD∽△CBO，然后運用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，AM、BN分別切⊙O于點A、B，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴∠MAB=∠NBA=90°，
∴∠MAB+∠NBA=180°，
∴AM∥BN；

（2）證明：過點O作OE⊥DC于E，如圖，
∵DO平分∠ADC，OE⊥DC，OA⊥AD，
∴OA=OE，
∴CD是⊙O的切線；

（3）解：根據(jù)切線長定理可得：DA=DE，CB=CE，
∴CD=DE+CE=DA+CB．
∵AD∥BC，F(xiàn)是CD的中點，O是AB的中點，
∴OF=

1

2

（AD+BC）=

1

2

CD．

（4）解：連接OC，如圖所示，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠BCE=180°．
∴∠ADO+∠EDO+∠BCO+∠ECO=180°．
根據(jù)切線長定理可得：∠ADO=∠EDO，∠BCO=∠ECO，
∴2∠ADO+2∠BCO=180°即∠ADO+∠BCO=90°．
∵∠OAD=90°，∴∠ADO+∠AOD=90°，
∴∠AOD=∠BCO．
∵∠OAD=∠CBO，∠AOD=∠BCO，
∴△OAD∽△CBO，
∴

OA

CB

=

AD

OB

，
∴AD•BC=OA•OB，
∴xy=R²=36，
∴R=6（舍負(fù)），
即⊙O的半徑R為6．

點評：本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、切線長定理、角平分線的性質(zhì)、梯形的中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，有一定的綜合性，證到△OAD∽△CBO是解決第（4）小題的關(guān)鍵．