Question

已知∠ABC=90°，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），分別以AB、AP為邊在∠ABC的內部作等邊△ABE和△APQ，連結QE并延長交BP于點F．
（1）如圖1，若AB=2

3

，點A、E、P恰好在一條直線上時，求此時EF的長（直接寫出結果）；
（2）如圖2，當點P為射線BC上任意一點時，猜想EF與圖中的哪條線段相等（不能添加輔助線產生新的線段），并加以證明；
（3）若AB=2

3

，設BP=x，以QF為邊的等邊三角形的面積y，求y關于x的函數(shù)關系式．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,角平分線的性質,等邊三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）由等邊三角形的性質及勾股定理就可以得出AP=4

3

，就可以得出PE=2

3

，由勾股定理就可以得出EF的值；
（2）猜想EF=BF，證得△ABP≌△AEQ，結合等邊三角形的性質，得出∠BEF=∠EBF，得出結論；
（3）過點F作FD⊥BE于點D，利用特殊角的三角函數(shù)，證得△ABP≌△AEQ，進一步求出以QF為邊的等邊三角形的面積即可．

解答：解：（1）∵△ABE是等邊三角形，
∴AE=AB，∠BAE=60°．
∵∠ABC=90°，
∴EF=2；                           
 
（2）EF=BF．理由如下：
∵∠BAP=∠BAE-∠EAP=60°-∠EAP，
∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中，
AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，
∴△ABP≌△AEQ．
∴∠AEQ=∠ABP=90°．
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°．
又∵∠EBF=90°-60°=30°，
∴EF=BF；                            

（3）在圖1中，過點F作FD⊥BE于點D．

∵△ABE是等邊三角形，
∴BE=AB=2

3

．
由（2）得∠EBF=30°，
在Rt△BDF中，BD=

3

．
∴BF=

BG

cos30°

=2．
∴EF=2．
∵△ABP≌△AEQ，
∴QE=BP=x．
∴QF=QE+EF=x+2．
∴以QF為邊的等邊三角形的面積y=

3

4

(x+2)2=

3

4

x2+

3

x+

3

．

點評：此題考查等邊三角形的性質，三角形全等的判定與性質，特殊角的三角函數(shù)，等腰三角形的判定以及三角形的面積等知識點，注意梳理條件，作出適當?shù)妮o助線解決問題．