【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+ x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)B,C,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(8,0),連接AC.

(1)請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+ x+c的表達(dá)式;
(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(3)若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B、C重合),過點(diǎn)N作NM∥AC,交AB于點(diǎn)M,當(dāng)△AMN面積最大時(shí),求此時(shí)N的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得: ,

解得:a=﹣ ,c=4.

∴該二次函數(shù)的解析式為y=﹣ x2+ x+4


(2)

解:令y=0得:﹣ x2+ x+4=0,解得:x=﹣2或x=8,

∴點(diǎn)B(﹣2,0).

∴BC=10.

在Rt△AOB和Rt△AOC中,依據(jù)勾股定理可知:AB2=OB2+AO2=20,AC2=OA2+OC2=80,

∴AB2+AC2=BC2

∴△ABC為直角三角形


(3)

解:設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,0)(﹣2<n<8),則BN=n+2,CN=8﹣n.

∵M(jìn)N∥AC,

=

∵AO=4,BC=10,

∴SABC= BCAO= ×4×10=20.

∴SABN= SABC=2(n+2).

∴SAMN= SAMN= (8﹣n)(n+2)=﹣ (n﹣3)2+5.

∴當(dāng)n=3時(shí),即N(3,0)時(shí),△AMN的面積最大,最大值為5


【解析】(1)將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入代入拋物線的解析式,求得a,c的值即可;(2)先求得點(diǎn)B的坐標(biāo),從而得到BC=10,然后依據(jù)勾股定理可求得AB2、AC2的值,最后依據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可;(3)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,0)(﹣2<n<8),則BN=n+2,CN=8﹣n,利用平行線分線段成比例定理可得到 = ,然后依據(jù)等高的兩個(gè)三角形的面積比等于底邊的長度比可得到SAMN與n的函數(shù)關(guān)系式,最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△AMN的面積取得最大值時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB方向以每秒cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng);同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),將△PQC沿BC翻折,點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′,設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,若四邊形QPCP′為菱形,則t的值為_____

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【題目】如圖,點(diǎn)DCBF,ACDE,AEBDCF.

(1)求證:ABEF;

(2)連接AFBE,猜想四邊形ABEF的形狀并說明理由.

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【題目】如圖,△ABC中,已知∠B∠C的平分線相交于點(diǎn)F,經(jīng)過點(diǎn)FDE//BC,交ABD,交AC于點(diǎn)E,若BD+CE=9,則線段DE的長為( )

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

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【題目】如圖,O是直線AB上一點(diǎn),AOD=120, AOC=90,OE平分BOD,則圖中彼此互補(bǔ)的角共有(

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

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【題目】直線a∥b,直角三角形如圖放置,若∠1+∠A=65°,則∠2的度數(shù)為(
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°

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【題目】如圖,若一次函數(shù)的圖象與x軸的交于點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)下列結(jié)論:①關(guān)于x的方程的解為;②x的增大而減;③關(guān)于x的方程的解為;④關(guān)于x的不等式的解為其中所有正確的為  

A. ①②③ B. ①③ C. ①②④ D. ②④

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【題目】如圖,點(diǎn)O為線段AD外一點(diǎn),M、C、B、NAD上任意四點(diǎn),連接OM、OC、OB、ON,下列結(jié)論不正確的是(

A. O為頂點(diǎn)的角共有15個(gè)

B. OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,∠AOD=5∠COB,∠MON=(∠MOC+∠BON)

C. MAB中點(diǎn),NCD中點(diǎn),則MN=(AD-CB)

D. MC=CB,MN=ND,則CD=2CN

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A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

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