Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，頂點為A的拋物線與x軸交于B、C兩點，與y軸交于點D，已知A(1，4)，B(3，0)．

(1)求拋物線對應的二次函數(shù)表達式；

(2)探究：如圖1，連接OA，作DE∥OA交BA的延長線于點E，連接OE交AD于點F，M是BE的中點，則OM是否將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分？請說明理由；

(3)應用：如圖2，P(m，n)是拋物線在第四象限的圖象上的點，且m+n＝﹣1，連接PA、PC，在線段PC上確定一點M，使AN平分四邊形ADCP的面積，求點N的坐標．提示：若點A、B的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則線段AB的中點坐標為(，)．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+2x﹣3；(2)OM將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分，理由見解析；(3)點N(，﹣)．

【解析】

(1)函數(shù)表達式為：y＝a(x﹣1)2+4，將點B坐標的坐標代入上式，即可求解；

(2)利用同底等高的兩個三角形的面積相等，即可求解；

(3)由(2)知：點N是PQ的中點，根據C,P點的坐標求出直線PC的解析式，同理求出AC,DQ的解析式，并聯(lián)立方程求出Q點的坐標，從而即可求N點的坐標．

(1)函數(shù)表達式為：y＝a(x﹣1)2+4，

將點B坐標的坐標代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4，

解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x﹣3；

(2)OM將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分，理由：

如圖1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，

S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四邊形OMAD＝S△OBM，

∴S△OME＝S△OBM，

∴S四邊形OMAD＝S△OBM；

(3)設點P(m，n)，n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，

解得：m＝﹣1或4，故點P(4，﹣5)；

如圖2，故點D作QD∥AC交PC的延長線于點Q，

由(2)知：點N是PQ的中點，

設直線PC的解析式為y=kx+b，

將點C(﹣1，0)、P(4，﹣5)的坐標代入得：，

解得：，

所以直線PC的表達式為：y＝﹣x﹣1…①，

同理可得直線AC的表達式為：y＝2x+2，

直線DQ∥CA，且直線DQ經過點D(0，3)，

同理可得直線DQ的表達式為：y＝2x+3…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝﹣，即點Q(﹣，)，

∵點N是PQ的中點，

由中點公式得：點N(，﹣)．