Question

在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y₁=x²-4x+1向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線y₂，然后將拋物線y₂繞其頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得到拋物線y₃．
（1）求拋物線y₂、y₃的解析式．
（2）求y₃＜0時(shí)，x的取值范圍．
（3）判斷以拋物線y₃的頂點(diǎn)以及其與x軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的形狀，并求它的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）要把拋物線平移，所以本題的關(guān)鍵是把拋物線的一般解析式化成頂點(diǎn)式，然后按要求平移即可．再根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向確定，拋物線的解析式．
（2）代入解不等式即可．
（3）根據(jù)圖象判定此三角形為等腰直角三角形．
解答：解：（1）由y₁=x²-4x+1得：y₁=（x-2）²-3，（1分）
由題意得：y₂=（x-2+3）²-3+4即：y₂=x²+2x+2    （1分）
因?yàn)閷�拋物線y₂繞其頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到的拋物線開(kāi)口向下，頂點(diǎn)不變，形狀不變，所以y₃=-（x+1）²+1．
即：y₃=-x²-2x．     （1分）

（2）令y₃=0即：-x²-2x=0，解得：x₁=0，x₂=-2，（1分）
由函數(shù)圖象（圖略）可知，當(dāng)x＜-2或x＞0時(shí)，y₃＜0．（1分）


（3）由圖象可知，此三角形為等腰直角三角形．        （1分）
由題意知拋物線y₃的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：x==-1，則y₃=-1+2=1．
∴y₃的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，1），，所以此三角形的面積為1．（1分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象及等腰三角形的判定．