Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=，中線AN與中線BM垂直．則BM=________．

Answer 1

3
分析：設(shè)AN與BM相交于點(diǎn)G，則G點(diǎn)為△ABC的重心，設(shè)NG=x，根據(jù)重心的性質(zhì)得到AG=2x，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得到BN=3x．然后在△BNG與△ABG中，由勾股定理得到BG²=BN²-NG²=AB²-AG²，求出x的值，從而得到BM的長度．
解答：解：設(shè)AN與BM相交于點(diǎn)G，則G點(diǎn)為△ABC的重心．
設(shè)NG=x，則AG=2x，AN=3x，BN=3x．
在△BNG中，BG²=BN²-NG²，
在△ABG中，BG²=AB²-AG²，
所以，BN²-NG²=AB²-AG²，
即9x²-x²=6-4x²，
解得x=．
所以BG²=AB²-AG²=6-4x²=4，
所以BG=2，GM=1，BM=3．
故答案為3．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形重心的定義及性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，難度中等，根據(jù)BG相等列出方程9x²-x²=6-4x²，是解題的關(guān)鍵．