Question

如圖，已知拋物線C₁與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是A（-4，0），B（-2，0），E（0，8）．
（1）求拋物線C₁關(guān)于原點(diǎn)對稱的拋物線C₂的解析式；
（2）設(shè)拋物線C₁的頂點(diǎn)為M，拋物線C₂與x軸分別交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），頂點(diǎn)為N，四邊形MDNA的面積為S．若點(diǎn)A，點(diǎn)D同時(shí)以每秒1個(gè)單位的速度沿水平方向分別向右、向左運(yùn)動；與此同時(shí)，點(diǎn)M，點(diǎn)N同時(shí)以每秒2個(gè)單位的速度沿堅(jiān)直方向分別向下、向上運(yùn)動，直到點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止．求出四邊形MDNA的面積S與運(yùn)動時(shí)間t之間的關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MDNA的面積S有最大值，并求出此最大值；
（4）在運(yùn)動過程中，四邊形MDNA能否形成矩形？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可先求出A、B、E關(guān)于原點(diǎn)對稱的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)不難得出OA=OD，OM=ON，因此四邊形AMDN是平行四邊形，那么其面積就是三角形ADN面積的2倍，可據(jù)此來求S，t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）根據(jù)（2）得出的函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍即可得出S的最大值及對應(yīng)的t的值．
（4）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：當(dāng)AD=MN時(shí)，平行四邊形AMDN是矩形，那么OD=ON，據(jù)此可求出t的值．

解答：解：（1）點(diǎn)A（-4，0），點(diǎn)B（-2，0），點(diǎn)E（0，8）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為D（4，0），C（2，0），F(xiàn)（0，-8）．
設(shè)拋物線C₂的解析式是y=ax²+bx+c（a≠0），
則

16a+4b+c=0 4a+2b+c=0 c=-8

，
解得

a=-1 b=6 c=-8

，
所以所求拋物線的解析式是y=-x²+6x-8．

（2）由（1）可計(jì)算得點(diǎn)M（-3，-1），N（3，1）．
過點(diǎn)N作NH⊥AD，垂足為H．
當(dāng)運(yùn)動到時(shí)刻t時(shí)，AD=2OD=8-2t，NH=1+2t．
根據(jù)中心對稱的性質(zhì)OA=OD，OM=ON，
所以四邊形MDNA是平行四邊形．
所以S=2S_△ADN．
所以，四邊形MDNA的面積S=（8-2t）（1+2t）=-4t²+14t+8．
因?yàn)檫\(yùn)動至點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止，據(jù)題意可知0≤t＜4．
所以所求關(guān)系式是S=-4t²+14t+8，t的取值范圍是0≤t＜4．

（3）S=-4（t-

7

4

）²+

81

4

，（0≤t＜4）．
所以t=

7

4

時(shí)，S有最大值

81

4

．
提示：也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來求．

（4）在運(yùn)動過程中四邊形MDNA能形成矩形．
由（2）知四邊形MDNA是平行四邊形，對角線是AD，MN，
所以當(dāng)AD=MN時(shí)四邊形MDNA是矩形，
所以O(shè)D=ON．所以O(shè)D²=ON²=OH²+NH²，
所以t²+4t-2=0．
解之得t₁=

6

-2，t₂=-

6

-2（舍）．
所以在運(yùn)動過程中四邊形MDNA可以形成矩形，此時(shí)t=

6

-2．

點(diǎn)評：本題以二次函數(shù)為背景，結(jié)合動態(tài)問題、存在性問題、最值問題，是一道較傳統(tǒng)的壓軸題，能力要求較高．