Question

【題目】如圖1，點(diǎn)P（m，n）在一次函數(shù) 的圖像上，將點(diǎn)P繞點(diǎn)A（，）逆時針旋轉(zhuǎn)45°，旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為P．

（1）當(dāng)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）試說明：不論m為何值，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)始終不變；

（3）如圖2，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AP于點(diǎn)B，若直線PB與二次函數(shù) 的圖像交于點(diǎn)Q，當(dāng)m＞0時，試判斷點(diǎn)B是否一定在點(diǎn)Q的上方，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）理由見解析；（3）點(diǎn) B一定在點(diǎn)Q的上方，理由見解析

【解析】

（1）如圖 當(dāng)m=0時，P與O重合，過A作⊥直線y=-x，過 作直線∥x軸，交直線y=-x于M點(diǎn)，過A作AH⊥于H，可以求出直線的解析式，進(jìn)而求出，由長度公式可得，證明 即可求出答案；

（2）無論m＜0,m=0,m＞0時，均有 故故可得出：點(diǎn)的縱坐標(biāo)；

（3）求出與的交點(diǎn)，分P在交點(diǎn)的左右兩側(cè)及交點(diǎn)上進(jìn)行畫圖，由圖像即可得出：點(diǎn) B一定在點(diǎn)Q的上方．

（1）如圖 當(dāng)m=0時，P與O重合

過A作⊥直線y=-x

故設(shè)直線的解析式為

把 代入可得

所以

∴

∵

∴

∴

∵

由長度公式可得

∵y=-x

∴∠1=45°

∴∠2=180°-45°=135°

過 作直線∥x軸，交直線y=-x于M點(diǎn)，過A作AH⊥于H

∴∠AHP==90°

∴在四邊形中：

∴

∴

∵ ，

∴

∴

∵

∴H點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：

∴

∴的橫坐標(biāo)為：

∴

；

（2）當(dāng)m＜0,m=0,m＞0時,點(diǎn)P 的縱坐標(biāo)均為，證明過程如下：

當(dāng)m＜0,m=0,m＞0時，均有：

∵y=-x

∴∠1=45°

∴∠2=180°-45°=135°

過 作直線∥x軸，交直線y=-x于M點(diǎn)，過A作AH⊥于H

∴∠AHP==90°

∴在四邊形中：

∴

∴

∵ ，

∴

故

∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：

故：當(dāng)m＜0,m=0,m＞0時,點(diǎn)P 的縱坐標(biāo)均為

（3）點(diǎn) B一定在點(diǎn)Q的上方，理由如下：

∵

解得: 或

∴ 與 交于C ,D 兩點(diǎn)

∴由圖像可知當(dāng) 時

∠QAP<45°，∠BAP=45°

故B在Q的上方

當(dāng) 時，由圖像可知：P、Q、D三點(diǎn)重合

點(diǎn) B一定在點(diǎn)Q的上方

當(dāng) 時，由圖像可知：

Q在直線y=-x的下方B在直線y=-x的上方

∴B在Q的上方

綜上所述：當(dāng)m>0時，點(diǎn) B一定在點(diǎn)Q的上方